Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)，）.
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明對一切恒成立.

Answer 1

（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。
（2）；（3）．

本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的 運用。利用導數(shù)的符號判定函數(shù)單調(diào)性和利用單調(diào)性逆向求解參數(shù)的范圍，和不等式的證明。
（1）首先求解定義域和導數(shù)，然后令導數(shù)大于零，小于零得到單調(diào)區(qū)間。
（2）因為在區(qū)間上是增函數(shù)，則說明函數(shù)在給定區(qū)間的導函數(shù)恒大于等于零，利用分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的取值范圍。
（3）利用第一問中函數(shù)的結(jié)論，令得，，那么所以在上為減函數(shù)，可得對于任意，都有，故有
，放縮法證明不等式。
解：（1）當時，，

由，……………………………………………..4分
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。
（2），
由題意得當時，恒成立。
令，有，得，
所以的范圍是…………………………………………8分
（3）令得，，
所以在上為減函數(shù)，對于任意，都有，故有
即
即．                          ………12分