Question

【題目】對于定義在上的函數(shù)，若函數(shù)滿足：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②存在常數(shù)，使其值域?yàn)?/span>，則稱函數(shù)為的“漸近函數(shù)”.

（1）設(shè)，若在上有解，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（2）證明：函數(shù)是函數(shù)，的漸近函數(shù)，并求此時(shí)實(shí)數(shù)的值；

（3）若函數(shù)，，，證明：當(dāng)時(shí)，不是的漸近函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）見解析

【解析】

（1）利用參變分離，得到，再利用基本不等式得到的取值范圍；（2）令，求出的單調(diào)性和值域，得到結(jié)論；（3）令，求導(dǎo)得到，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和零點(diǎn)，從而得到的正負(fù)，判斷出的單調(diào)性，得到結(jié)論.

（1）由，即，

因?yàn)?/span>

所以

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.

所以.

（2）令

所以在上單調(diào)遞減，

所以

當(dāng)時(shí)，，

所以值域?yàn)?/span>

所以是的漸近函數(shù)，且.

（3）令，

則

設(shè)

則

，

所以在上單調(diào)遞增，

即在上單調(diào)遞增，

又時(shí)，，故的值域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，所以，，

所以存在，使得，

所以時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，

所以在上不是單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)，不是的漸近函數(shù).