Question

已知x滿足不等式2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，求函數(shù)f(x)=(log2

x

4

)(log2

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由已知條件可得得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，

2

≤x≤8，

1

2

≤log2x≤3．再由f（x）=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得它的最值．

解答：解：由2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，可解得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，∴

2

≤x≤8，∴

1

2

≤log2x≤3．
∵f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，故當(dāng)log₂x=

3

2

，即x=2

2

時(shí)，f（x）取得最小值為-

1

4

．
當(dāng)log₂x=3，即x=8時(shí)，f（x）取得最大值為 2．
綜上可得，f（x）的最小值為-

1

4

，最大值為 2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，一元二次不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．