Question

設(shè)函數(shù)，證明：

（Ⅰ）對每個(gè)，存在唯一的，滿足；

（Ⅱ）對任意，由（Ⅰ）中構(gòu)成的數(shù)列滿足.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】（1）對每個(gè)，當(dāng)時(shí)，，

則在內(nèi)單調(diào)遞增，

而，當(dāng)時(shí)，，

故，

又

所以對每個(gè)，存在唯一的，滿足

當(dāng)時(shí)，，并由（1）知

由在內(nèi)單調(diào)遞增知，，故為單調(diào)遞減數(shù)列，

從而對任意,

對任意，

    ①

 ②

①②并移項(xiàng)，利用，得

因此，對任意，.

本題考查的是數(shù)列函數(shù)，而且含雙變量，考生在做題的過程中需要冷靜的處理好每個(gè)變量.第（1）題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，要證明對每個(gè)，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，一方面要證明函數(shù)是單調(diào)的，求導(dǎo)即可，另一方面要判斷的正負(fù)問題，此題難點(diǎn)在于判斷的正負(fù)時(shí)，要利用放縮的思想，將這個(gè)數(shù)列函數(shù)放縮到可以利用等比數(shù)列求和，從而證明此函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；第（2）題要將數(shù)列從數(shù)列函數(shù)中分離出來，就要通過函數(shù)的單調(diào)性，由，在內(nèi)單調(diào)遞增，確定，則不等式左半邊成立，右半邊通過作差，數(shù)列放縮確定最終.本題屬于較難題.

【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的判定，等比數(shù)列的求和，不等式的放縮等知識.