Question

設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（I）求證：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個交點；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的兩個交點A、B在x軸上的射影為A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)f（1）=0，得出a，b，c的關(guān)系，再由f（x）=g（x），兩邊移項，構(gòu)成一個一元二次方程，用△來進(jìn)行判斷；
（ II）已知函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的兩個交點A、B，由（1）得出兩根，根據(jù)韋達(dá)定理，進(jìn)行求解；

解答：解：（I）∵f（1）=0
∴a+b+c=0
∵a＞b＞c
∴a＞0，c＜0
由ax²+bx+c=ax+b得ax²+（b-a）x+c-b=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（-a-c-a）²-4a（c+a+c）=c²-4ac
∵a＞0，c＜0
∴△＞0所以函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個交點．
（II）由已知方程ax²+（b-a）x+c-b=0，兩根為x₁，x₂，
x1+x2=

a-b

a

=2+

c

a

，x1x2=

c-b

a

=1+

2c

a

，
|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2+ c a )2-4(1+2 c a )

=

( c a )2-4( c a )

=

( c a -2)2-4

由a+b+c=0，a＞b＞c得a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
于是得到，-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴|x1-x2|∈(

3

2

，2

3

)
所以，|A₁B₁|的取值范圍(

3

2

，2

3

)．

點評：此題主要考查二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的應(yīng)用，第一問比較簡單，第二問計算比較復(fù)雜，考查學(xué)生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題．