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        1. 已知橢圓的兩焦點為F1(-
          3
          ,0)
          F2(
          3
          ,0)
          ,離心率e=
          3
          2

          (1)求此橢圓的方程;
          (2)設(shè)直線l:y=x+m,若l與此橢圓相交于P,Q兩點,且|PQ|等于橢圓的短軸長,求m的值;
          (3)以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC,這樣的直角三角形是否存在?若存在,請說明有幾個;若不存在,請說明理由.
          (1)設(shè)橢圓方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0),…(1分)
          c=
          3
          ,
          c
          a
          =
          3
          2
          ,…(2分)∴a=2,b2=a2-c2=1…(3分)
          ∴所求橢圓方程為
          x2
          4
          +y2=1
          .…(4分)
          (2)由
          y=x+m
          x2+4y2=4
          ,消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,…(6分)
          則△=64m2-80(m2-1)>0得m2<5(*)
          設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-
          8m
          5
          ,x1x2=
          4(m2-1)
          5
          ,y1-y2=x1-x2,…(7分)
          |PQ|=
          (x1-x2)2+(y1-y2)2
          =
          2[(-
          8m
          5
          )
          2
          -
          16(m2-1)
          5
          ]
          =2
          …(9分)
          解得.m2=
          15
          8
          ,滿足(*)
          m=±
          30
          4
          .…(10分)
          (3)設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC,其中B(0,1),由題意可知,直角邊BA,BC不可能垂直
          或平行于x軸,故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1(不妨設(shè)k<0),則BC邊所在直線的方
          程為y=-
          1
          k
          x+1
          ,由
          y=kx+1
          x2+4y2=4
          ,得A(-
          8k
          1+4k2
          ,-
          8k2
          1+4k2
          +1)
          ,…(11分)
          |AB|=
          (-
          8k
          1+4k2
          )
          2
          +(-
          8k2
          1+4k2
          )
          2
          =
          8|k|
          1+k2
          1+4k2
          ,…(12分)
          -
          1
          k
          代替上式中的k,得|BC|=
          8
          1+k2
          4+k 2
          ,
          由|AB|=|BC|,得|k|(4+k2)=1+4k2,…(13分)
          ∵k<0,
          ∴解得:k=-1或k=
          -3±
          5
          2
          ,
          故存在三個內(nèi)接等腰直角三角形.…(14分)
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          A.
          B.
          C.
          D.

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          (Ⅱ)過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=8,證明:直線AB過定點().

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          A.
          B.
          C.
          D.

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          已知橢圓的右焦點為F(2,0),M為橢圓的上頂點,O為坐標(biāo)原點,且△MOF是等腰直角三角形.
          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=8,證明:直線AB過定點().

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          A.
          B.
          C.
          D.

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