Question

已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=1，點(diǎn)P為直線l：3x+4y+1=0上的一動(dòng)點(diǎn)，若在圓C上存在點(diǎn)M使得∠MPC=30°，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍

[-

23

25

，1]

．

Answer 1

分析：從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，切線為PM，PN，則∠MPC=30°時(shí)，∠MCN為120°，所以PC的長度為2，故可確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．

解答：解：由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，
當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，
不妨設(shè)切線為PM，PN，
則∠MPC=60°時(shí)，∠MCN=120°，
∵C：（x-1）²+（y-1）²=1中，圓心C（1，1），半徑r=1，
∴PC=2，
故問題轉(zhuǎn)化為在直線l：3x+4y+1=0上找到一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)C的距離為2．
設(shè)P（x₀，

-1-3x0

4

），
∵C（1，1），∴（x₀-1）²+（

-1-3x0

4

-1）²=4，
解得x₀=1或x₀=-

23

25

，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍是[-

23

25

，1]．
故答案為：[-

23

25

，1]．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是明確從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角．