Question

【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且，求直線的斜率的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）利用右焦點(diǎn)為，求出,得到,通過點(diǎn), 在橢圓上，得到，求出 、的值可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn) ，由得，利用韋達(dá)定理以及 ，結(jié)合判別式的符號(hào)，可求解的范圍.

試題解析：(1) 由題意得：

因?yàn)?/span> 點(diǎn) 在橢圓C上 解得：

橢圓方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)

由得

，

由得或，

即

，

解得，的取值范圍是或.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.