Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小2.
（1）求曲線(xiàn)的方程；
（2）曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸交于點(diǎn).直線(xiàn)分別與直線(xiàn)及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）.（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度不變，證明見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）思路一：設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，
依題意可知曲線(xiàn)是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
得到曲線(xiàn)的方程為.
思路二：設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，
由，化簡(jiǎn)即得.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：
由（1）知拋物線(xiàn)的方程為，
設(shè)，得，
應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線(xiàn)的斜率，進(jìn)一步得切線(xiàn)的方程為.
由，得.
由，得.
根據(jù)，得圓心，半徑，
由弦長(zhǎng)，半徑及圓心到直線(xiàn)的距離之關(guān)系，確定.
試題解析：解法一：（1）設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，
依題意，點(diǎn)S到的距離與它到直線(xiàn)的距離相等，
所以曲線(xiàn)是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
所以曲線(xiàn)的方程為.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：
由（1）知拋物線(xiàn)的方程為，
設(shè)，則，
由，得切線(xiàn)的斜率
，
所以切線(xiàn)的方程為，即.
由，得.
由，得.
又，所以圓心，
半徑，
.
所以點(diǎn)P在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度不變.

解法二：
（1）設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，
則，
依題意，點(diǎn)只能在直線(xiàn)的上方，所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，曲線(xiàn)的方程為.
（2）同解法一.
考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線(xiàn)方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.