Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓C：=1(m＞0)的左、右焦點．

(1)當(dāng)P∈C，且=0，|PF₁|·|PF₂|=4時，求橢圓C的左、右焦點F₁、F₂；

(2)F₁、F₂是(1)中的橢圓的左、右焦點，已知⊙F₂的半徑是1，過動點Q的作⊙F₂的切線QM，使得|QF₁|=|QM|(M是切點)，如圖所示，求動點Q的軌跡方程．

第19題圖

Answer 1

答案：(1)∵c²=a²-b²，∴c²=4m2．又∵=0

∴PF₁⊥PF₂，

∴|PF₁|²+|PF₂|²=(2c)²=16m²

由橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a=，

(|PF₁|+|PF₂|)²=16m²+8=24m²

從而得m²=1，c²=4m²=4，c=2．

∴F₁(-2，0)、F₂(2，0)．

(2)∵F₁(-2，0)，F(xiàn)₂(2，0)，

由已知得|QF₁|=|QM|，即|QF₁|²=2|QM|²，所以

有|QF₁|²=2(|QF₂|²-1)，

設(shè)Q(x，y)，則(x+2)²+y²=2[(x-2)²+y²-1]

即(x-6)²+y²=32(或x²+y²-12x+4=0)

綜上所述，所求軌跡方程為(x-6)²+y²=32．