Question

如圖，A、B是單位圓O上的動點，C是圓與x軸正半軸的交點，設(shè)∠COA=α．
（1）當(dāng)點A的坐標為(

3

5

，  

4

5

)時，求sinα的值；
（2）若0≤α≤

π

2

，且當(dāng)點A、B在圓上沿逆時針方向移動時，總有∠AOB=

π

3

，試求BC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的點的坐標計算角的三角函數(shù)值，注意所給的點的特點，本題是一個在單位圓上的點，那么，角的三角函數(shù)值就可以直接在坐標上體現(xiàn)．
（2）根據(jù)邊的旋轉(zhuǎn)得到角的大小，應(yīng)用余弦定理表示出要求最值的量，整理變化用三角函數(shù)表示，根據(jù)所給的角的范圍，寫出要求的量的范圍，得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵A點的坐標為(

3

5

，  

4

5

)，
根據(jù)三角函數(shù)定義可知x=

3

5

，y=

4

5

，r=1，
∴sinα=

y

r

=

4

5

．
（2）∵∠AOB=

π

3

，∠COA=α，
∴∠COB=α+

π

3

．
由余弦定理得BC²=OC²+OB²-2OC•OBcos∠BOC=1+1-2cos(α+

π

3

)=2-2cos(α+

π

3

)．
∵0≤α≤

π

2

，
∴

π

3

≤α+

π

3

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤cos(α+

π

3

)≤

1

2

．
于是1≤2-2cos(α+

π

3

)≤2+

3

，
即1≤BC2≤2+

3

，
即1≤BC≤

2+ 3

．
∴BC的取值范圍是[1，  

2+ 3

]．

點評：本題是一個解三角形的問題，題目用到余弦定理表示邊長，用余弦定理求解三角形的邊和角，題目運算量較大，是一個綜合問題，可以作為高考題的一問出現(xiàn)．