Question

已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的三邊分別為a、b、c，兩向量

n

=(tanB，-

3

)，

m

=(a2+c2-b2，ac)滿足

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin2A+cos

C-3A

2

的最大值以及此時(shí)角A的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)兩向量的坐標(biāo)，由兩向量垂直時(shí)數(shù)量積為0列出關(guān)系式，變形后利用余弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，可得出sinB的值，由三角形為銳角三角形可得出B為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由B的度數(shù)，得到A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入所求的式子中，第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由A的范圍，求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而確定出函數(shù)的最大值，以及此時(shí)A的度數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵

n

=(tanB，-

3

)，

m

=(a2+c2-b2，ac)，且

m

⊥

n

，
∴（a²+c²-b²）tanB-

3

ac=0，即

a2+c2-b2

2ac

•tanB=

3

2

，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，tanB=

sinB

cosB

，
∴sinB=

3

2

，
∵B為銳角，∴B=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
則y=2sin²A+cos

C-3A

2

=2sin²A+cos（

π

3

-2A）
=1-cos2A+

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A+1=sin（2A-

π

6

）+1，…（9分）
∵

π

6

＜A＜

π

2

，
∴當(dāng)2A-

π

6

=

π

2

時(shí)，即A=

π

3

時(shí)，函數(shù)的最大值為2．…（12分）

點(diǎn)評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．