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          已知函數f(x)=
          2
          π
          |x+π|, x<-
          π
          2
          -sinx, -
          π
          2
          ≤x≤0
          1
          3
          x2-
          2
          3
          x, x>0
          ,若關于x的方程滿足f(x)=m(m∈R)有且僅有三個不同的實數根,且α,β分別是三個根中最小根和最大根,則β-sin(
          π
          3
          +α)
          的值為
          5
          2
          5
          2
          分析:同一坐標系內作出函數y=f(x)的圖象和直線y=m,因為兩圖象有且僅有三個公共點,所以m=1.再解方程f(x)=1,得最大根β與最小根α,將它們代入再化簡,即可得到要求值式子的值.
          解答:解:函數f(x)=
          2
          π
          |x+π|, x<-
          π
          2
          -sinx, -
          π
          2
          ≤x≤0
          1
          3
          x2-
          2
          3
          x, x>0
          的圖象如下圖所示:

          可得函數f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,-π)和(-
          π
          2
          ,1);
          單調增區(qū)間為(-π,-
          π
          2
          )和(1,+∞),
          f(x)的極大值為f(-
          π
          2
          )=1,極小值為f(1)=-
          1
          3
          和f(-π)=0
          將直線y=m進行平移,可得當m=1時,兩圖象有且僅有三個不同的公共點,
          相應地方程f(x)=m(m∈R)有且僅有三個不同的實數根.
          令f(x)=1,得x1=-
          2
          ,x2=-
          π
          2
          ,x3=3,所以β=3,α=-
          2
          ,
          ∴β-sin(
          π
          3
          +α)=3-•sin(-
          6
          )=3-
          1
          2
          =
          5
          2

          故答案為:
          5
          2
          點評:本題以分段函數為例,求方程的最大根和最小根,并且用這個根來求值,著重考查了函數與方程的關系,以及三角函數求值等知識,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
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          1
          x
          ,(x>0),若存在實數a,b(a<b),使y=f(x)的定義域為(a,b)時,值域為(ma,mb),則實數m的取值范圍是( 。

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          (1)若a1=0,求a2,a3,a4
          (2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數列,求a1的值
          (3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說明理由.

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          選修4-5:不等式選講
          已知函數f(x)=2|x-2|-x+5,若函數f(x)的最小值為m
          (Ⅰ)求實數m的值;
          (Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實數a的取值范圍.

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          同步練習冊答案