Question

已知：二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-ax²+1有一個正的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)出二次函數(shù)的一般表達(dá)式，再根據(jù)已知條件代入進(jìn)行求解；
（2）g（x）=f（x）-ax²+1有一個正的零點(diǎn)，可得g（x）=0將問題轉(zhuǎn)化為（1-a）x²-x+2=0有一個正根，對1-a與0的關(guān)系進(jìn)行討論，從而求解；

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
設(shè)f（x）=ax²+bx+c，f（0）=1可得c=1，
a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
可得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）g（x）=f（x）-ax²+1=（1-a）x²-x+2，
g（x）=0有一個正的零點(diǎn)?（1-a）x²-x+2=0有一個正根，
①當(dāng)1-a=0即a=1，得x=2，符合題意；
②1-a≠0即a≠1時(shí)，△=1-8（1-a）=8a-7，
當(dāng)8a-7=0，即a=

7

8

時(shí)，方程有等根x=4，符合題意，
當(dāng)a＞

7

8

時(shí)，△＞0，只需兩根x1x2＜0，即

2

1-a

＜0，
∴a＞1，
綜上a的取值范圍為[1，+∞）∪{

7

8

}；

點(diǎn)評：此題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，以及函數(shù)的解析式的求法，是一道基礎(chǔ)題；