Question

已知函數(shù)f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

，x∈R．
（I）設角a的頂點在坐標原點，始邊在x軸的負半軸上，終邊過點P（

1

2

，-

3

2

），求f（a）的值；
（II）試討論函數(shù)f（x）的基本性質（直接寫出結論）．

Answer 1

分析：解法一：（I）利用點P（

1

2

，-

3

2

）在α終邊上，求出sinα，cosα，然后求出f（α）．
（II）化簡函數(shù)的表達式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后找出：奇偶性，單調性，最值，周期；
解法二：化簡函數(shù)f（x）的表達式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（I）點P（

1

2

，-

3

2

）在α終邊上，求出α=2kπ-

π

3

， k∈Z解出f（α）即可．
（II）同解法一；

解答：解：解法一：（I）因為點P（

1

2

，-

3

2

）在α終邊上，
所以sinα= -

3

2

，cosα=

1

2

f（α）=

3

cos2α+sinαcosα-

3

2

=

3

×(

1

2

)2+(-

3

2

)  ×

1

2

-

3

2

=-

3

2

（II）f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

×

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)
函數(shù)的基本性質如下：①函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）單調增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，單調減區(qū)間為：[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；
③函數(shù)的最大值我1，最小值為-1；
④函數(shù)的周期為：π
解法二：f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

×

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)
（I）因為點P（

1

2

，-

3

2

）在α終邊上，
所以α=2kπ-

π

3

， k∈Z
所以f（α）=sin[2（2kπ-

π

3

）+

π

3

]=sin（4kπ-

π

3

）=sin（-

π

3

）=-

3

2

（II）同解法一；

點評：本題考查三角函數(shù)的定義、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，考查運算求解能力，轉化與化歸思想等．