Question

某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水．連噴頭在內(nèi)，柱高0.8m．水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖（1）所示．

根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如圖（2）中所示直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式是 y=-x2+2x+

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5

．
（1）噴出的水流距水面的最大高度是多少？
（2）如果不計(jì)其他因素，那么水池半徑至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？
（3）若水流噴出的拋物線形狀與（2）相同，噴頭距水面0.35米，水池的面積為12.25π平方米，要使水流最遠(yuǎn)落點(diǎn)恰好落到水池邊緣，此時(shí)水流最大高度達(dá)到多少米？

Answer 1

分析：（1）本題是二次函數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用，y表示水流噴出的高度，x表示水平距離，是二次函數(shù)關(guān)系，可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．
（2）欲使噴出的水流都落在水池內(nèi)，即（1）中x至少為何值時(shí)，y＞0，根據(jù)方程與不等式間的關(guān)系，先解方程y=0即可得出x的值；
（3）在求另外一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，確定函數(shù)關(guān)系式要充分運(yùn)用條件“水流噴出的拋物線形狀與圖（2）相同，噴頭距水面0.35米”，求解析式．

解答：解：（1）y=-x²+2x+

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=-（x-1）²+1.8
答：噴出的水流距水面的最大高度為1.8米
（2）當(dāng)y=0時(shí)-x²+2x+

4

5

=0，
即（x-1）²=1.8，
解得x₁=1+

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5

，x₂=1-

3 5

5

＜0（舍去）
答：水池半徑至少為（1+

3 5

5

）米．
（3）根據(jù)S=πr²，得12.25π=πr²，
∴r=3.5m
設(shè)拋物線解析式為y=-x²+bx+0.35（0≤x≤3.5）
把x=3.5，y=0代入，
得0=-3.5²+3.5b+0.35
解得b=3.4
∴y=-x²+3.4x+0.35，
即當(dāng)x=1.7時(shí)，y_最大=3.24
答：水流最大高度為3.24米．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問題求二次函數(shù)，再運(yùn)用二次函數(shù)求最大值．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．