Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+ax2+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲線C：y=f（x）經過點P（1，2），曲線C在點P處的切線與直線2x-y+3=0平行，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試求函數g(x)=(m2-1)[f(x)-

7

3

x]（m為實常數，m≠±1）的極大值與極小值之差．

Answer 1

分析：（1）曲線在P（1，2）處的切線與2x-y+3=0平行等價于函數在該點的導數為2，f（1）=2，代入可求a，b
（2）由（1）知g（x）=

m2 -1

3

x3-

2m2-2

3

x2，g′（x）=（m²-1）x²-

4m2-4

3

x=（m2 -1）（x-

4

3

）x，分類討論：分m²＞1時，m²＜1時兩種情況討論，g（x）的單調性，進而可求g（x）的極小值．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f(x)=

1

3

x3+ax2+bx（a，b∈R），
∴f′（x）=x²+2ax+b，
∴f′（1）=1+2a+b，
∵曲線C：y=f（x）經過點P（1，2），曲線C在點P處的切線與直線2x-y+3=0平行，
∴

1 3 +a+b=2 1+2a+b=2

，
解得a=-

2

3

，b=

7

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x，
∴g(x)=(m2-1)[f(x)-

7

3

x]=

m2 -1

3

x3-

2m2-2

3

x2，
∴g′（x）=（m²-1）x²-

4m2-4

3

x=（m2 -1）（x-

4

3

）x，
當m²＞1時，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上遞增，在（0，

4

3

）上遞減，
∴g（x）的極小值為g（

4

3

）=

m2-1

3

（

64

27

-

96

27

）=-

32(m2-1)

81

，
g（x）的極大值為g（0）=0．
∴函數g（x）的極大值與極小值之差為

32(m2-1)

81

．
當m²＜1時，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上遞減，在（0，

4

3

）上遞增，
∴g（x）的極小值為g（

4

3

）=

m2-1

3

（

64

27

-

96

27

）=-

32(m2-1)

81

，
g（x）的極大值為g（0）=0．
∴函數g（x）的極大值與極小值之差為-

32(m2-1)

81

．

點評：本題考查函數的極值與導數之間的關系，考查函數有極值的條件，考查學生的轉化與化歸思想．