Question

求過直線2x+y+4=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程：
（1）過原點；        
（2）有最小面積．

Answer 1

分析：過直線2x+y+4=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點的圓的方程可設為（x²+y²+2x-4y+1）+λ（2x+y+4）=0
（1）將（0，0）代入圓系方程，即可得到所求圓的方程；
（2）化為一般式，求出圓的半徑的不等式，求出其最小值，從而可得圓的方程．

解答：解：過直線2x+y+4=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點的圓的方程可設為（x²+y²+2x-4y+1）+λ（2x+y+4）=0
（1）將（0，0）代入，可得1+4λ=0，∴λ=-

1

4

，
∴圓的方程為x2+y2+

3

2

x-

17

4

y=0；   
（2）（x²+y²+2x-4y+1）+λ（2x+y+4）=0可化為x²+y²+（2λ+2）x+（λ-4）y+1+4λ=0
∴圓的半徑為

(2λ+2)2+(λ-4)2-4(1+4λ) 4

=

5 4 (λ- 8 5 )2+ 4 5

∴λ=

8

5

時，半徑最小，此時面積最小，
所以圓的方程為(x+

13

5

)2+(y-

6

5

)2=

4

5

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查圓系方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．