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        1. 口袋里裝有大小相同的4個紅球和8個白球,甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回地摸球,每次摸出一個,規(guī)則如下:①若一方摸出一個紅球,則此人繼續(xù)進行下一次摸球;若一方摸出一個白球,則改換為由對方進行下一次摸球;②每一個摸球彼此相互獨立,并約定由甲開始進行第一次摸球,求在前三次的摸球中:
          (1)乙恰好摸到一個紅球的概率;
          (2)甲至少摸到一個紅球的概率;
          (3)甲摸到紅球的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學期望.
          分析:(1)乙恰好摸到一個紅球包括兩種情況,甲第一次摸到一個紅球,第二次沒有摸到紅球改為乙摸球,且摸到一個紅球;二是甲第一次摸球,摸到一個白球,乙開始摸球摸到一個紅球,乙接著摸球,摸到一個白球.根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率寫出結(jié)果.
          (2)甲至少摸到一個紅球的對立事件是甲在前三次摸球中沒有摸到紅球,算出甲在前三次摸球中,沒有摸到紅球的概率,根據(jù)對立事件的概率公式得到甲至少摸到一個紅球的概率.
          (3)甲摸到紅球的次數(shù)為ξ,根據(jù)題意知ξ的可能取值為0,1,2,3,結(jié)合變量對應的事件寫出變量的分布列,算出期望.
          解答:解:記“甲摸球一次摸出紅球”為事件A“乙摸球一次摸出紅球”為事件B,
          P(A)=P(B)=
          4
          4+8
          =
          1
          3
          ,P(
          .
          A
          )=P(
          .
          B
          )=
          2
          3
          且A,B相互獨立.
          (1)乙恰好摸到一個紅球包括兩種情況,甲第一次摸到一個紅球,第二次沒有摸到紅球改為乙摸球,且摸到一個紅球;
          二是甲第一次摸球,摸到一個白球,乙開始摸球摸到一個紅球,乙接著摸球,摸到一個白球.
          ∴乙恰好摸到一個紅球的概率為P1=P(A•
          .
          A
          •B)+P(
          .
          A
          •B•
          .
          B
          )=
          1
          3
          ×
          2
          3
          ×
          1
          3
          +
          2
          3
          ×
          1
          3
          ×
          2
          3
          =
          2
          9

          (2)甲至少摸到一個紅球的對立事件是甲在前三次摸球中沒有摸到紅球
          ∵甲在前三次摸球中,沒有摸到紅球的概率為P=P(
          .
          A
          •B)+P(
          .
          A
          .
          B
          .
          A
          )=
          2
          3
          ×
          1
          3
          +(
          2
          3
          )3=
          14
          27

          根據(jù)對立事件的概率公式得到
          甲至少摸到一個紅球的概率為P2=1-P=1-
          14
          27
          =
          13
          27

          (3)甲摸到紅球的次數(shù)為ξ,根據(jù)題意知ξ的可能取值為0,1,2,3,
          結(jié)合變量對應的事件寫出變量的分布列,
          P(ξ=0)=P(
          .
          A
          •B)+P(
          .
          A
          .
          B
          .
          A
          )=
          2
          3
          ×
          1
          3
          +(
          2
          3
          )3=
          14
          27
          ,
          P(ξ=1)=P(A•
          .
          A
          )+P(
          .
          A
          .
          B
          •A)=
          1
          3
          ×
          2
          3
          +(
          2
          3
          )2×
          1
          3
          =
          10
          27

          P(ξ=2)=P(A•A•
          .
          A
          )=(
          1
          3
          )2×
          2
          3
          =
          2
          27
          ,
          P(ξ=3)=P(A•A•A)=(
          1
          3
          )3=
          1
          27

          ∴ξ的分布列為精英家教網(wǎng)
          ∴數(shù)學期望Eξ=0×
          14
          27
          +1×
          10
          27
          +2×
          2
          27
          +3×
          1
          27
          =
          17
          27
          點評:本題考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率,是一個綜合題,解題時注意離散型隨機變量對應的事件.
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          3
          5
          3
          5

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