Question

【題目】已知向量 =（m，﹣1）， =（ ）
（1）若m=﹣ ，求 與 的夾角θ；
（2）設 ． ①求實數(shù)m的值；
②若存在非零實數(shù)k，t，使得[ +（t2﹣3） ]⊥（﹣k +t ），求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（m，﹣1）， =（ ），若m=﹣ ， 與 的夾角θ，

則有cosθ= = =﹣ ，∴θ=

（2）解：①設 ，則 = ﹣ =0，∴m= ．

②由①可得， =（ ，﹣1）， = ﹣ =0，

若存在非零實數(shù)k，t，使得[ +（t2﹣3） ]⊥（﹣k +t ），故有[ +（t2﹣3） ]（﹣k +t ）=0，

∴﹣k +[﹣k（t2﹣3）+t] +t（t2﹣3） =﹣k4+0+t（t2﹣3）=0，∴4k=t（t2﹣3），

∴ = +t= = ≥﹣ ，當且僅當t=﹣2時，取等號，

故 的最小值為﹣ ．

【解析】（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得cosθ= 的值，可得θ的值．（2）①利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求得m的值．②根據(jù)[ +（t2﹣3） ]（﹣k +t ）=0，求得4k=t（t2﹣3），從而求得 = ，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．