Question

已知橢圓x²+by²=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點(diǎn)
（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，AB的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為時(shí)，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)閳Ax²+by²=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點(diǎn)，所以方程組有兩相異實(shí)根，可以通過(guò)判別式△來(lái)判斷．
（2）設(shè)A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），由，，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，和斜率公式可得．
解答：解：（1）解
∴x²（1+b）-2bx+b-3a=0
由題意得：△=4b²-4（1+b）（b-3a）＞0
解得b＜3
又因?yàn)閎＞0且b≠1
∴0＜b＜3且b≠1

（2）設(shè)A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） 由（1）
∴
整理得：b²+3b-3a-3ab+1=0，

AB中點(diǎn)M
由題意得：∴b=5
∴a=
所求橢圓方程為
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，做題時(shí)認(rèn)真分析，找到切入點(diǎn)．