Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+（p+2）x+3，p為實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的值域；
（2）已知α：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

1

2

，+∞)上是增函數(shù)，β：方程f（x）=p有小于-2的實(shí)根．試問：α是β的什么條件（指出充分性和必要性）？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）由函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，得：
f（-x）=3x²+（p+2）（-x）+3=3x²+（p+2）x+3=f（x）恒成立
∴p+2=0即p=-2 （2分）；
f（x）=3x²+3在x=0處取最小值3，在x=3處取最大值30
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的值域?yàn)閇3，30]．（2分）
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

1

2

，+∞)上是增函數(shù)
∴-

p+2

6

＜-

1

2

即p≥1
∴α：p≥1；（2分）；
方程f（x）=p有小于-2的實(shí)根則△≥0，較小的根小于小于-2，則β：p＞

11

3

（4分）
 所以：α是β的必要非充分條件（2分）