Question

在平面直角坐標(biāo)平面上，

OA

=(1，4)，

OB

=(-3，1)，且

OA

與

OB

在直線l上的射影長(zhǎng)度相等，直線l的傾斜角為銳角，則l的斜率為（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  5

  2

• C、

  2

  5

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：根據(jù)直線的方向向量公式，可設(shè)線l的方向向量為

OC

=( 1，k)，根據(jù)

OA

與

OB

在直線l上的射影長(zhǎng)度相等，得

OA

•

OC

=

OB

•

OC

，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，可以求出斜率k的值．

解答：解：設(shè)直線l的斜率為k，得直線l的方向向量為

OC

=( 1，k)，
再設(shè)

OA

、

OB

與

OC

的夾角分別為θ₁、θ₂，
則|

OA

| cosθ1=

OA • OC

| OC |

，|

OB

| cosθ2=

OB • OC

| OC |

因?yàn)?span id="dn9ttif" class="MathJye">

OA

與

OB

在直線l上的射影長(zhǎng)度相等
所以

OA

•

OC

=

OB

•

OC

，即|1+4k|=|-3+k|
解之得，k=

2

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和直線的斜率等知識(shí)，屬于中檔題．深刻理解平面向量的計(jì)算公式，將其準(zhǔn)確用到解析幾何當(dāng)中，是解決本題的關(guān)鍵．