Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．
（1）若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；
（2）若a，b∈R，求A∩B=∅的概率．

Answer 1

分析：（1）本小題是古典概型問題，欲求A∩B≠∅的概率，只須求出滿足：“使A∩B≠∅”的事件空間中元素有多少個(gè)，再將求得的值與抽取的全部結(jié)果的個(gè)數(shù)求比值即得．
（2）本小題是幾何概型問題，欲求A∩B=∅的概率，只須求出滿足A∩B=∅的（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積，再將求得的面積值與整個(gè)區(qū)域的面積求比值即得．

解答：解：（1）因?yàn)閍，b∈N，（a，b）可�。�0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9組．
令函數(shù)f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，則f′（x）=a+bln2•2^x．
因?yàn)閍∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f′（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
f（x）在[-1，0]上的最小值為-a+

b

2

-1．要使A∩B≠∅，只需-a+

b

2

-1＜0，
即2a-b+2＞0．所以（a，b）只能�。�0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7組．
所以A∩B≠∅的概率為

7

9

．

（2）因?yàn)閍∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形（如圖），面積為4．
由（1）可知，要使A∩B=∅，
只需f（x）_min=-a+

b

2

-1≥0?2a-b+2≤0，
所以滿足A∩B=∅的（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域是如圖陰影部分．
所以S_陰影=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，所以A∩B=∅的概率為：P=

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查古典概型、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)．古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè)，簡(jiǎn)單地說，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．