Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）在上有兩個(gè)不等的零點(diǎn)．設(shè)，由研究在上的單調(diào)性和極值，由極值確定有零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得的范圍；

（2）由（1），，.，，要證，只需證，由得，然后令，把用表示，這樣就轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，通過(guò)研究的函數(shù)的單調(diào)性和最值得出結(jié)論．

（1）的定義域?yàn)?/span>，

設(shè)，則在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

令得，令得

∴在遞增，在遞減

∴

又當(dāng)時(shí)，，在沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，

（令，因?yàn)?/span>，所以在遞減，

）

∴使得，使得

當(dāng)時(shí)，，∴遞減

當(dāng)時(shí)，，∴遞增

當(dāng)時(shí)，，∴遞增；

當(dāng)時(shí)，，遞減

∴分別為的極小值與極大值點(diǎn)

綜上，的取值范圍為

（2）由（1）知，∴，∴

∴t時(shí)，∴

要證，只需證

∵由（1）得

∴得，即

設(shè)，則，∴，∴

∴

下面說(shuō)明

即，設(shè)

∴

∴遞增，∴即

∴成立