Question

【題目】在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若E為棱CC1的中點(diǎn)，求證：A1E⊥平面BDE；
（2）試確定E點(diǎn)的位置使直線A1C與平面BDE所成角的正弦值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AA1=2AB=2，E為棱CC1的中點(diǎn)，

則A1（1，0，2），E（0，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），

=（﹣1，1，﹣1）， =（1，1，0）， =（0，1，1），

=﹣1+1=0， =1﹣1=0，

∴A1E⊥DB，A1E⊥DE，

又DB∩DE=D，∴A1E⊥平面BDE

（2）解：C（0，1，0），設(shè)E（0，1，t），

則 =（1，1，0）， =（0，1，t）， =（﹣1，1，﹣2），

設(shè)平面DBE的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=1，得 =（1，﹣1， ），

∵直線A1C與平面BDE所成角的正弦值是 ．

∴|cos＜ ＞|= = = ，

解得t=1或t= （舍），

∴E是CC1的中點(diǎn)或CE占CC1的 ．

【解析】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A1E⊥平面BDE．（2）求出平面DBE的法向量，由直線A1C與平面BDE所成角的正弦值是 ．利用向量法能確定E點(diǎn)的位置．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．