Question

【題目】若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】BD

【解析】

根據(jù)題意可知性質(zhì)指函數(shù)的圖象上有兩個(gè)不同點(diǎn)的切線是重合的，分析各選項(xiàng)中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)的奇偶性，數(shù)形結(jié)合可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)相等，求解方程，可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.

由題意可得，性質(zhì)指函數(shù)的圖象上有兩個(gè)不同點(diǎn)的切線是重合的，即兩個(gè)不同點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等，且該點(diǎn)處函數(shù)的切線方程也相等.

對(duì)于A選項(xiàng)，，則，導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)，不存在不同的兩個(gè)使得導(dǎo)數(shù)值相等，所以A不符合；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，，

令，可得或，如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)在和處的切線重合，所以B選項(xiàng)符合；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)兩切點(diǎn)分別為和，則兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等有：，解得：，令，則，

兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，兩切點(diǎn)連線的斜率為，則，得，兩切點(diǎn)重合，不符合題意，所以C選項(xiàng)不符合；

對(duì)于D選項(xiàng)，，設(shè)兩切點(diǎn)得橫坐標(biāo)分別為和，

則，所以，

取，，則，，

兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，兩切點(diǎn)連線的直線斜率為，

所以兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于兩切點(diǎn)連線的斜率，符合性質(zhì)，所以D選項(xiàng)符合.

故選：BD.