Question

已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）＞6abc．

Answer 1

分析：利用基本不等式，得出三個(gè)不等式，再相加，利用a，b，c不全相等，即可證得結(jié)論．

解答：證明：∵b²+c²≥2bc，a＞0，
∴a（b²+c²）≥2abc             ①…（5分）
同理 b（c²+a²）≥2abc          ②
c（a²+b²）≥2abc               ③…（9分）
因?yàn)閍，b，c不全相等，所以b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，a²+b²≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，
從而①、②、③三式也不能全取“=”號(hào)
∴三式相加可得：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．