Question

（2012•瀘州模擬）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)(ω＞0，x∈R)，且該函數(shù)圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為

π

2

．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若不等式f(m)-

2 + 6

4

≥0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為

6 + 2

2

sin（ωx+

π

4

），由該函數(shù)圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π，由此求得ω=2．
（II）由不等式可得sin（2x+

π

4

）≥

1

2

，故有 2kπ-

π

6

≤2m+

π

4

）≤2kπ+

5π

6

，k∈z．由此解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數(shù) f(x)=sin(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

cosωx+

1

2

sinωx
=

3 +1

2

（sinωx+cosωx）=

6 + 2

2

 sin（ωx+

π

4

）．
∵該函數(shù)圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
即

2π

ω

=π，ω=2，f（x）=

6 + 2

2

sin（2x+

π

4

）．
（II）∵不等式f(m)-

2 + 6

4

≥0成立，∴

6 + 2

2

sin（2m+

π

4

）≥

2 + 6

4

，
∵sin（2x+

π

4

）≥

1

2

．
∴2kπ-

π

6

≤2m+

π

4

）≤2kπ+

5π

6

，k∈z．解得 kπ-

π

24

≤m≤kπ+

7π

24

，k∈z．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[kπ-

π

24

，kπ+

7π

24

]k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解三角不等式，屬于中檔題．