【題目】設常數(shù),已知復數(shù)
,
和
,其中
均為實數(shù),
為虛數(shù)單位,且對于任意復數(shù)
,有
,將
作為點
的坐標,
作為點
的坐標,通過關(guān)系式
,可以看作是坐標平面上點的一個變換,它將平面上的點
變到這個平面上的點
.
(1)分別寫出和
用
表示的關(guān)系式;
(2)設,當點
在圓
上移動時,求證:點
經(jīng)該變換后得到的點
落在一個圓上,并求出該圓的方程;
(3)求證:對于任意的常數(shù),總存在曲線
,使得當點
在
上移動時,點
經(jīng)這個變換后得到的點
的軌跡是二次函數(shù)
的圖像,并寫出對于正常數(shù)
,滿足條件的曲線
的方程.
【答案】(1) (2) 證明見解析,
(3) 證明見解析,
【解析】
(1)運用復數(shù)的乘法和共軛復數(shù)的概念,再根據(jù)復數(shù)相等得出和
用
表示的關(guān)系式;
(2)利用轉(zhuǎn)換,代換的方法,求軌跡方程;
(3)由(1)的結(jié)論和滿足的方程,代入計算可得所求方程.
(1)由復數(shù),
和
,
所以.
(2)證明:當時,
,
兩邊平方相加可加得.
當點在圓
上移動時,滿足
.
則點在圓上運動
.
(3)證明:由(1)有
且點的軌跡是二次函數(shù)
的圖像.
可得,即
.
化簡得.
對于正常數(shù),曲線
的方程為
.
當點在
上移動時,點
經(jīng)這個變換后得到的點
的軌跡是二次函數(shù)
的圖象.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線 (
為參數(shù)),
(
為參數(shù))
(Ⅰ)將的方程化為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(Ⅱ)若上的點對應的參數(shù)為
,
為
上的動點,求
中點
到直線
(
為參數(shù))距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知z是實系數(shù)方程的虛根,記它在直角坐標平面上的對應點為
,
(1)若在直線
上,求證:
在圓
:
上;
(2)給定圓:
(m、
,
),則存在唯一的線段s滿足:①若
在圓C上,則
在線段s上;②若
是線段s上一點(非端點),則
在圓C上、寫出線段s的表達式,并說明理由;
(3)由(2)知線段s與圓C之間確定了一種對應關(guān)系,通過這種對應關(guān)系的研究,填寫表(表中是(1)中圓
的對應線段).
線段s與線段 | m、r的取值或表達式 |
s所在直線平行于 | |
s所在直線平分線段 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程.
(2)從圓C外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點
的坐標為
,拋物線
的方程為
,過
作動直線
交拋物線于
兩點,設線段
的中點為
.
(1)若與
重合,求直線
的方程;
(2)求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出下列四個結(jié)論:
①函數(shù)的最小正周期是
②函數(shù)在區(qū)間
上是減函數(shù)
③函數(shù)的圖像關(guān)于點
對稱
④函數(shù)的圖像可由函數(shù)
的圖像向左平移
個單位得到
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的通項公式是
,數(shù)列
的通項公式是
,集合
,將集合
中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為
,則數(shù)列
的前45項和
_______.
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