Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ ．
（1）判斷f（x）的奇偶性并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a=16時(shí)，判斷f（x）在x∈（0，2]上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）試判斷方程x3﹣2016x+16=0在區(qū)間（0，+∞）上解的個(gè)數(shù)并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

①a=0時(shí)，f（﹣x）=x2=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．

②a≠0時(shí)，f（﹣x）≠±f（x），∴f（x）是非奇非偶函數(shù)

（2）解：當(dāng)a=16時(shí)，f（x）=x2+ ，任取0＜x1＜x2≤2，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =（x1﹣x2） ，

∵0＜x1＜x2≤2，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，0＜x1+x2＜4．

∴（x1﹣x2） ＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在x∈（0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)

（3）解：結(jié)論：方程在（0，+∞）上共有兩個(gè)解．

證明：當(dāng)a=16時(shí)，任取2≤x1＜x2，則同理可證f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

∴x3﹣2016x+16=0在的解即為方程x2+ ﹣2016=0，x∈（0，+∞）的解．

令g（x）=f（x）﹣2016，

∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，由 =16000+ ＞2016得 ＞0．

且f（2）=12＜2016得g（2）＜0，

又g（x）的圖象在x∈（0，2]的解上是不間斷的曲線，由零點(diǎn)存在定理知函數(shù)在x∈[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)，又由g（x）在x∈（0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，由f（2）=12＜2016，且f（1000）＞0且f（x）在x∈[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)得g（2）＜0，

g（1000）＞0，g（x）的圖象在（2，+∞）上是不間斷的曲線，

由零點(diǎn)存在定理知函數(shù)在x∈[2，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)，又由g（x）在x∈（2，+∞）調(diào)遞增知函數(shù)在x∈（2，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)

【解析】（1）對(duì)a分類討論，計(jì)算f（﹣x）與±f（x）的關(guān)系即可判斷出奇偶性．（2）當(dāng)a=16時(shí)，f（x）=x2+ ，任取0＜x1＜x2≤2，作差f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2） ，判斷符號(hào)即可證明．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)判定定理即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱才能正確解答此題．