Question

【題目】已知函數(shù)（，）的周期為，圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），在將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像．

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）是否存在，使得，，按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在唯一的（3），

【解析】

(1)根據(jù)已知的周期可以得到，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心建立一個(gè)方程求得

(2)根據(jù)等差數(shù)列的條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的取值范圍問(wèn)題，采用求導(dǎo)方法確定最值，從而判斷是否存在滿足條件的及存在的個(gè)數(shù).

(3)由于是關(guān)于，的函數(shù)，所以它也是一個(gè)周期函數(shù)，所以可以考慮在一個(gè)周期內(nèi)的取值情況，這個(gè)問(wèn)題采用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算，令，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)，求解在一個(gè)范圍內(nèi)的的取值范圍，然后判斷存在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后根據(jù)的周期性可得在整個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)存在的總零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）函數(shù)（，）的周期為，可得，

又由該圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，故，得，所以，

，將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后，得到的圖像，再將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，故函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，，，所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解，即在內(nèi)是否有解，記，，因?yàn)?/span>在上大于0，所以，在遞增，又因?yàn)?/span>，，且函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，所以存在唯一的滿足題意；

（3）令，現(xiàn)討論函數(shù)在上零點(diǎn)的情況，設(shè)，，則函數(shù)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，又，，.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)(另一個(gè)零點(diǎn)，舍去)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，且；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)(另一個(gè)零點(diǎn)，舍去)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，且；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)，在和內(nèi)分別有兩個(gè)零點(diǎn)

由正弦函數(shù)的周期性可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)總為偶數(shù)，從而不存在正整數(shù)滿足題意.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)；

從而當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在有三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，，所以，依題意得，

綜上，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)