Question

已知f(ex)=

x

x2+3

，x∈R．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若方程f(x)=

1

4(lnx+1)

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β，求αβ的值；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-a在x∈[1，e]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：解（1）令t=e^x時(shí)，則x=lnt，t＞0，根據(jù)f(ex)=

x

x2+3

，x∈R，可求f（x）的表達(dá)式；
（2）由f(x)=

1

4(lnx+1)

可得，3ln²x+4lnx-3=0，利用方程f(x)=

1

4(lnx+1)

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β，可得lnα+lnβ=-

4

3

，從而可求αβ的值；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零點(diǎn)，等價(jià)于f（x）=a在（1，e]上有解．分類(lèi)討論：①當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0；②當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，lnx∈（0，1]，則f(x)=

1

lnx+ 3 lnx

，利用基本不等式可求f(x)∈(0，

1

4

]，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）令t=e^x時(shí)，則x=lnt，t＞0，
∵f(ex)=

x

x2+3

，x∈R
∴f(t)=

lnt

ln2t+3

，t＞0，
即f(x)=

lnx

ln2x+3

，x＞0．…（4分）
（2）由f(x)=

1

4(lnx+1)

可得，3ln²x+4lnx-3=0．
∵方程f(x)=

1

4(lnx+1)

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β
∴lnα+lnβ=-

4

3

，故αβ=e-

4

3

．…（8分）
（3）函數(shù)g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零點(diǎn)，等價(jià)于f（x）=a在（1，e]上有解．
①當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0；
②當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，lnx∈（0，1]，則f(x)=

1

lnx+ 3 lnx

，
∵lnx∈（0，1]，
∴lnx+

3

lnx

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)lnx=1，即x=e時(shí)取等號(hào)，
因而f(x)∈(0，

1

4

]．
綜上f(x)∈[0，

1

4

]，故a∈[0，

1

4

]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，解題時(shí)將函數(shù)g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為f（x）=a在（1，e]上有解是關(guān)鍵．