Question

在等差 數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）設(shè)b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），B_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N^*均有B_n＞

m

32

成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和即得結(jié)論；
（2）判斷哪幾項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，再分類討論，即可求得T_n；
（3）求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，求出最小值，再解不等式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵a₁=8，a₄=2，∴公差d=

2-8

4-1

=-2，∴a_n=a₁+（n-1）d=10-2n
∴S_n=

n(8+10-2n)

2

=n（9-n）；
（2）∵a_n=10-2n≥0，∴n≤5
∴數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，后面的項(xiàng)為負(fù)數(shù)．
∴n≤5時(shí)，T_n=n（9-n）；
n≥6時(shí)，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-S_n+2S₅=n（n-9）+20=n²-9n+20
∴T_n=

n(9-n)，n≤5 n2-9n+20，n≥6

；
（3）b_n=

1

n(12-an)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，∴B_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

(1-

1

n+1

)
∴n=1時(shí)，B_n取得最小值

1

4

∵對(duì)任意n∈N^*均有B_n＞

m

32

成立，∴

1

4

＞

m

32

，∴m＜8
∴使得對(duì)任意n∈N^*均有B_n＞

m

32

成立的最大整數(shù)為7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確求和是關(guān)鍵．