Question

如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).

(1)求證:AM∥平面BDE;

(2)求二面角A-DF-B的大小;

(3)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與BC所成的角是60°.

Answer 1

(1)證明:記AC與BD的交點(diǎn)為O,連結(jié)OE,?

∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn),ACEF是矩形,?

∴四邊形AOEM是平行四邊形.?

∴AM∥OE.?

∵OE平面BDE,AM平面BDE,?

∴AM∥平面BDE.?

(2)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S,連結(jié)BS,?

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,?

∴AB⊥平面ADF.?

∴AS是BS在平面ADF上的射影.?

由三垂線定理得BS⊥DF.?

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角.?

在Rt△ASB中，AS=，AB=，?

∴tan∠ASB=,∠ASB=60°.?

∴二面角A-DF-B的大小為60°.?

 (3)設(shè)CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,則PQ∥AD,?

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,AB∩AF=A,?

∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF.?

∴PQ⊥QF.?

在Rt△PQF中,∠FPQ=60°,PF=2PQ.?

∵△PAQ為等腰直角三角形,?

∴PQ=(2-t).?

又∵△PAF為直角三角形,?

∴PF=.?

∴ =2·(2-t).?

求出t=1或t=3(舍).?

∴t=1.∴CP=1.