Question

已知函數(shù)y=

1

2

•log2

x

4

•log2

x

2

(2≤x≤8)．
（Ⅰ）令t=log₂x，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)的值域，并求函數(shù)取得最小值時的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得y=

1

2

(log2x-2)(log2x-1)，令t=log₂x，可得y=

1

2

t2-

3

2

t+1，根據(jù)2≤x≤8，求得t的范圍．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，1≤t≤3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域，以及函數(shù)取得最小值時的x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵y=

1

2

•log2

x

4

•log2

x

2

=

1

2

(log2x-log24)(log2x-log22)，
∴y=

1

2

(log2x-2)(log2x-1)．
令t=log₂x，
則 y=

1

2

(t-2)(t-1)，即y=

1

2

t2-

3

2

t+1，
又∵2≤x≤8，
∴1≤log₂x≤3，即 1≤t≤3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）y=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，1≤t≤3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得
當t=

3

2

時，ymin=-

1

8

，
當t=3時，y _man=1，函數(shù)的值域為[-

1

8

，1]．
當ymin=-

1

8

時，t=

3

2

，
即log2x=

3

2

，
∴x=2

2

．

點評：本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．