Question

已知函數(shù)，f（x）=

bx+c

ax2+1

（a，c∈R，a＞0，b是自然數(shù)）是奇函數(shù)，f（x）有最大值

1

2

，且．f（1）＞

2

5

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）是否存在直線(xiàn)l與y=f（x）的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數(shù)可知f（-x）+f（x）=0，求得c=0； 依題意可知f（x）的最大值

1

2

必在x＞0時(shí)取得，利用基本不等式可求得f（x）≤得

b

2 a

=

1

2

，
于是a=b²，最后由

1

2

＜b＜2又a＞0，b是自然數(shù)可得a=b=1．
（2）假設(shè)存在，設(shè)出P（x₀，y0），得出Q點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組求出x₀和y₀，即可得出答案．

解答：解：（1）由f（x）為奇函數(shù)得f（-x）+f（x）=0，即

bx+c

ax2+1

+

-bx+c

ax2+1

=0
∴c=0．
 又a＞0，b是自然數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
 當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
故f（x）的最大值

1

2

必在x＞0時(shí)取得；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

bx

ax2+1

=

b

ax+ 1 x

≤

b

2 a

當(dāng)且僅當(dāng)ax=

1

x

，即x=

1

a

時(shí)取得

b

2 a

=

1

2

，即a=b²
又f（1）＞

2

5

∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，

1

2

＜b＜2又a＞0，b是自然數(shù)可得a=b=1，
∴f（x）=

x

x2+1

（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l與y=f（x）的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，
設(shè)P（x₀，y0）則Q（2-x₀，-y₀）所以

x0 x02+1 =y0 2-x0 (2-x0)2+1 =-y0

消去y₀，得x₀²-2x₀-1=0
解得：x₀=1±

2

，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

2

，

2

4

）或（1-

2

，-

2

4

），故對(duì)應(yīng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-

2

，-

2

4

）或（1+

2

，

2

4

）
故過(guò)于P、Q兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：x-4y-1=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用，由基本不等式結(jié)合題意得到a=b²是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．