Question

如圖ABCD為正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，設AC∩BD=0，連接EO，底面是正方形，可得OE為△PAC的中位線，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）PD⊥平面AC，BC?平面AC，所以BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，可得BC⊥平面PDC在△PDC為等腰三角形中證明DE⊥平面PBC，從而求證．
解答：解：（1）連接AC，設AC∩BD=0，連接EO，
∵底面是正方形，
∴O為AC的中點
∴OE為△PAC的中位線
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA∉平面EBD，
∴PA∥平面EDB．
（2）∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，
∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D．
∴BC⊥平面PDC．
∵DE?平面PDC，
∴BC⊥DE．①
又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，
∴PD⊥DC，而PD=DC，
∴△PDC為等腰三角形．∴DE⊥PC．②
由①、②可知DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB．又EF⊥PB，
∴PB⊥平面DEF．
點評：此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面垂直的判斷，此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．