Question

f（x）=

1

3

x³-4x+4  
（1）求函數(shù)的極值
（2）求函數(shù)在區(qū)間（-3，4）上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對(duì)定義域分段，判斷導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性，得出極值點(diǎn)，把極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入原函數(shù)解析式求極值；
（2）函數(shù)在區(qū)間（-3，4）上有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，而x=-3與x=4的函數(shù)值都大于該區(qū)間內(nèi)的極小值，小于該區(qū)間內(nèi)的極大值，所以，極小值即為最小值，極大值即為最大值．

解答：解：（1）由f（x）=

1

3

x³-4x+4，得：f′（x）=x²-4．
由f′（x）=x²-4=0，得：x=-2，或x=2．
列表：

由表可知，函數(shù)f（x）的極大值為f（-2）=

1

3

×(-2)3-4×(-2)+4=

28

3

．
函數(shù)f（x）的極小值為f（2）=

1

3

×23-4×2+4=-

4

3

．
（2）因?yàn)閒（-3）=

1

3

×(-3)3-4×(-3)+4=7．
f（4）=

1

3

×43-4×4+4=

28

3

．
又f（2）＜f（-3）＜f（-2），
f（2）＜f（4）≤f（-2）．
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，4）上的最大值為f(-2)=

28

3

．
最小值為f(2)=-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)某點(diǎn)的兩側(cè)的單調(diào)性相反，則該點(diǎn)即為函數(shù)的極值點(diǎn)，考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值時(shí)的應(yīng)用，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)則不一定．此題是中檔題．