Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

a-2

2

x2-2ax-3，g（a）=

1

6

a3+5a-7．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[-2，0]上不單調(diào)，且x∈[-2，0]時(shí)，不等式f（x）＜g（a）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用f（x）在[-2，0]上不單調(diào)，確定0＜a＜2，x∈[-2，0]時(shí)，不等式f（x）＜g（a）恒成立，等價(jià)于f（-a）＜g（a），從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x-3
∴f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞）；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
∵f（x）在[-2，0]上不單調(diào)，
∴-2＜-a＜0
∴0＜a＜2
∵x∈[-2，0]時(shí)，不等式f（x）＜g（a）恒成立，
∴f（-a）＜g（a）
∴-

1

3

a3+

a-2

2

•a2+2a2-3＜

1

6

a3+5a-7
∴a²-5a+4＜0
∴1＜a＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．