Question

橢圓C1：

x2

4

+

y2

3

=1，雙曲線C₂的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
（1）求C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及準(zhǔn)線方程；
（2）若C₂的離心率與C₁的離心率互為倒數(shù)，且C₂的虛半軸長(zhǎng)等于C₁焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，求C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）可確定橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a=2，b=

3

，c=1，從而可求焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及準(zhǔn)線方程；
（2）根據(jù)C₂的離心率與C₁的離心率互為倒數(shù)，可求雙曲線C₂的離心率，利用C₂的虛半軸長(zhǎng)等于C₁焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，可求虛半軸長(zhǎng)，從而可求C₂的方程．

解答：解：（1）橢圓C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）和（1，0），離心率為

1

2

，準(zhǔn)線方程為x=±4；
（2）由題意，雙曲線C₂的離心率為e=2，虛半軸長(zhǎng)b=3，
于是

c

a

=2，得

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

c2

a2

-1=4-1=3，
所以a2=

b2

3

=3，
所以雙曲線C₂的方程為

x2

3

-

y2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．