Question

已知橢圓C₁：

x2

4

+y2=1，雙曲線C₂：

x2

3

-y2=1．若直線l：y=kx+

2

與橢圓C₁、雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩交點A、B滿足

OA

•

OB

＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：由l與橢圓C₁恒有兩個不同的交點，可得解得 k2＞

1

4

 ①，由l與C₂ 有兩個不同的交點可得 k²≠

1

3

，且k²＜1  ②，再由

OA

•

OB

＜6 可得k2＞

13

15

 或k2＜

1

3

  ③，結(jié)合①②③求得k²的取值范圍，即可得到k的取值范圍．

解答：解：將y=kx+

2

代入

x2

4

+y2=1得，(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0，
由判別式 △1=(8

2

k)2-16(4k2+1)＞0，解得 k2＞

1

4

 ①．
將y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1得，（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0，
由l與C₂ 有兩個不同的交點可得

1-3k2≠ 0 △2=(- 6 2 k)2+36(1-3k2)＞0

，解得 k²≠

1

3

，且k²＜1  ②，
根據(jù)

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+

2

k(x1+x2)+2=

3k2+7

3k2-1

＜6，
解得k2＞

13

15

，或k2＜

1

3

  ③．  由①②③得

1

4

＜k2＜

1

3

，或

13

15

＜k2＜1．
故k的取值范圍為：(-1，-

13 15

)∪(-

3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

3

3

)∪(

13 15

，1)．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，求得

1

4

＜k2＜

1

3

，或

13

15

＜k2＜1，是解題的難點和關(guān)鍵．