Question

（2011•甘肅一模）設(shè){a_n}，{b_n}都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數(shù)列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數(shù)列．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）如果a1=2，b1=2，記數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜1（n∈N^*．）

Answer 1

分析：由題意可得，2b_n²=a_n+a_n+1①a_n+1²=b_n²b_n+1²②
（1）結(jié)合已知條件a_n＞0，b_n＞0及②得a_n+1=b_nb_n+1從而當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=b_n-1b_n結(jié)合①，2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2）從而可得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
（2）由a₁=2，b₁=2及①得a₂=6，再由②得b₂=3從而有a₂=6，b₂=3從而可得等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=2公差 d=b₂-b₁=1 通項(xiàng)公式b_n=2+（n-1）=n+1又 a_n=b_n-1b_n=n（n+1可得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=n（n+1）
則

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和可求S_n，可證

解答：解：由題意可得，2b_n²=a_n+a_n+1①a_n+1²=b_n²b_n+1²②
（1）∵a_n＞0，b_n＞0
∴由②得a_n+1=b_nb_n+1
從而當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=b_n-1b_n
代入①，得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2）
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
（2）∵a₁=2，b₁=2
∴由①得a₂=6，再由②得b₂=3
等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=2公差 d=b₂-b₁=1∴b_n=2+（n-1）=n+1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=b_n-1b_n=n（n+1），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也成立
∴數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=n（n+1）
∴

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴S_n＜1

點(diǎn)評(píng)：（1）等差數(shù)列的證明常用的方法（i）定義法：a_n-a_n-1=d；（ii）等差中項(xiàng)法：2a_n=a_n-1+a_n+1
（2）裂項(xiàng)求和是數(shù)列求和中的重要方法，要注意其適用的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)