Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出方程解得即可；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，運(yùn)用韋達(dá)定理得的值，再證即．

試題解析：

（1）由題意知，拋物線的方程為，則

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（2）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

法一：因?yàn)橹本�的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，

由方程組得，

，

因?yàn)?/span>，

所以

所以.

法二：①當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，

此時(shí)，

即，

有，

所以.

②當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

方程組得，

所以，

.因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

由①②得.