Question

一個(gè)盒子中裝有6張卡片，上面分別寫著如下6道極限題：
①

lim

x→∞

1

x2

；②

lim

x→0

1

x

；③

lim

x→∞

x2+1

3x2+x+2

；④

lim

x→1

1

x2-1

；⑤

lim

x→1

x2+x-2

x-1

；⑥

lim

n→+∞

(-1)n
（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，求至少有一張卡片上題目極限不存在的概率；
（2）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有極取不存在的題的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）首先判斷①③⑤題極取存在，②④⑥題極限不存在，本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6張卡片中取2張，共有C₆²種結(jié)果，滿足條件的事件是至少有一張卡片上題目極限不存在，它的對(duì)立事件是極限都存在，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到結(jié)果．
（II）由題意知抽取次數(shù)ξ，則ξ的可能值為1，2，3，4，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出變量的概率，寫出分布列，做出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
∵①③⑤題極取存在，②④⑥題極限不存在，
記事件A為“任取兩張卡片，至少有一張卡片上的題目極限不存在”．
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6張卡片中取2張，共有C₆²種結(jié)果，
滿足條件的事件是至少有一張卡片上題目極限不存在，
它的對(duì)立事件是極限都存在，
∴根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到P（A）=1-

C 2 3

C 2 6

=

4

5

（2）ξ的可能值為1，2，3，4，
P(ξ=1)=

3

6

=

1

2

，P(ξ=2)=

3

6

•

3

5

=

3

10

，P(ξ=3)=

3

6

•

2

5

•

3

4

=

3

20

P(ξ=4)=

3

6

•

2

5

•

1

4

•

3

3

=

1

20

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問題，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，是可以得滿分的一道題目．2011年的山東卷又出現(xiàn)了這種題目．