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        1. 已知a∈R,函數(shù)f(x)=
          12
          ax2-lnx

          (1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率;
          (2)討論f(x)的單調(diào)性;
          (3)是否存在a的值,使得方程f(x)=2有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
          分析:由函數(shù)f(x)=
          1
          2
          ax2-lnx
          ,得到函數(shù)的定義域,
          (1)代入a=1可得f′(x),得到f′(1),進(jìn)而可得切線的斜率;
          (2)可得導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=ax-
          1
          x
          =
          ax2-1
          x
          ,x>0
          ,分a≤0和a>0兩類分別求得導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況,進(jìn)而可得單調(diào)性;
          (3)結(jié)合(1)與(2)可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值;若使得方程f(x)=2有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,只要極小值小于2即可,列出不等式,求出a的范圍.
          解答:解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=x-
          1
          x
          ,x>0
          ∴k=f′(1)=0
          所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為0;
          (2)f′(x)=ax-
          1
          x
          =
          ax2-1
          x
          ,x>0

          ①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
          ②當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,解得x=
          a
          a
          .當(dāng)x∈(0,
          a
          a
          )時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(
          a
          a
          ,+∞)時(shí),f′(x)>0

          函數(shù)f(x)在(0,
          a
          a
          )內(nèi)單調(diào)遞減;在(
          a
          a
          ,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增

          (3)存在a∈(0,e3),使得方程f(x)=2有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.
          理由如下:
          由(1)可知當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
          方程f(x)=2不可能有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;                                 
          由(2)得,函數(shù)f(x)在(0,
          a
          a
          )內(nèi)單調(diào)遞減,在(
          a
          a
          ,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增
          ,
          使得方程f(x)=2有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于函數(shù)f(x)的極小值f(
          a
          a
          )<2
          ,
          f(
          a
          a
          )=
          1
          2
          +
          1
          2
          lna<2
          ,解得0<a<e3
          所以a的取值范圍是(0,e3
          點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,涉及切線方程的求解,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值,以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,屬中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知a∈R,函數(shù)f(x)=
          1
          12
          x3+
          a+1
          2
          x2+(4a+1)x

          (Ⅰ)如果函數(shù)g(x)=f′(x)是偶函數(shù),求f(x)的極大值和極小值;
          (Ⅱ)如果函數(shù)f(x)是(-∞,?+∞)上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知a∈R,函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+ax+2.
          (1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (2)令a=-1,b∈R,已知函數(shù)g(x)=b+2bx-x2.若對(duì)任意x1∈(-1,+∞),總存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知a∈R,函數(shù)f(x)=
          a
          x
          +lnx-1,g(x)=(lnx-1)
          e
          x
           
          +x
          (其中e為自然對(duì)數(shù)的底).
          (1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
          (2)是否存在實(shí)數(shù)x0∈(0,e],使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直?若存在求出x0的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•太原一模)已知a∈R,函數(shù) f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為
          3x+y=0
          3x+y=0

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
          (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
          (2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),求|f(x)|的最大值.

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