Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

1

12

x3+

a+1

2

x2+(4a+1)x．
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）=f′（x）是偶函數(shù)，求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）是（-∞，?+∞）上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）據(jù)次數(shù)為奇數(shù)的系數(shù)為0，時函數(shù)為偶函數(shù)求出a；求出導函數(shù)的根，判斷根左右兩邊導函數(shù)的正負號，據(jù)極值的定義求出極值．
（Ⅱ）f（x）的導函數(shù)為二次函數(shù)，據(jù)函數(shù)單調(diào)性已知對應(yīng)的導函數(shù)大于等于0恒成立，判別式小于等于0求出a的范圍．

解答：解：f′(x)=

1

4

x2+(a+1)x+(4a+1)．
（Ⅰ）∵f'（x）是偶函數(shù)，
∴a=-1．
此時f(x)=

1

12

x3-3x，f′(x)=

1

4

x2-3，
令f'（x）=0，解得：x=±2

3

．
列表如下：
可知：f（x）的極大值為f(-2

3

)=4

3

，f（x）的極小值為f(2

3

)=-4

3

．

（Ⅱ）∵f′(x)=

1

4

x2+(a+1)x+(4a+1)，
令△=(a+1)2-4•

1

4

•(4a+1)=a2-2a≤0，
解得：0≤a≤2．
這時f'（x）≥0恒成立，
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，?+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
綜上，a的取值范圍是{a|0≤a≤2}．

點評：被天籟村利用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；利用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性已知求參數(shù)范圍：函數(shù)單增對應(yīng)導數(shù)大于等于0；函數(shù)單減對應(yīng)導數(shù)小于等于0恒成立．