Question

經(jīng)市場調(diào)查，某商場的一種商品在過去的一個月內(nèi)（以30天計）銷售價格f（t）（元）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)=100(1+

k

t

)（k為正常數(shù)），日銷售量g（t）（件）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足g（t）=125-|t-25|，且第25天的銷售金額為13000元．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）試寫出該商品的日銷售金額w（t）關(guān)于時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）該商品的日銷售金額w（t）的最小值是多少？

Answer 1

（Ⅰ）由題意，得f（25）•g（25）=13000，
即100(1+

k

25

)•125=13000，解得k=1
（Ⅱ）w(t)=f(t)•g(t)=100(1+

1

t

)(125-|t-25|)
=

100(t+ 100 t +101) 100(149+ 150 t -t)

(1≤t＜25，t∈N) (25≤t≤30，t∈N)

（Ⅲ）①當1≤t＜25時，因為t+

100

t

≥20，
所以當t=10時，w（t）有最小值12100
②當25≤t≤30時，∵

150

t

-t在[25，30]上遞減，
∴當t=30時，w（t）有最小值12400
∵12100＜12400，∴當t=10時，
該商品的日銷售金額w（t）取得最小值為12100