Question

選修4-2　矩陣與變換
已知M=

1 -2 -2 1

，α=

3 1

，試計(jì)算M²⁰α．

Answer 1

分析：根據(jù)矩陣M的特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)求得兩個(gè)特征值分別為3和-1，然后根據(jù)特征向量的定義，分別求出M屬于λ₁=3的特征向量

a

和M屬于λ₂=-1的特征向量

b

，將

α

表示成

a

、

b

的線性組合，最后利用矩陣乘法的性質(zhì)結(jié)合特征向量的含義，可算出M²⁰α的值．

解答：解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-1）²-4
令f（λ）=0，得λ₁=3，λ₂=-1，
設(shè)M屬于λ₁=3的特征向量為

a

=

x y

，則M

a

=λ₁

a

即

1 -2 -2 1

•

x y

=

x-2y -2x+y

=

3x 3y

所以

x-2y=3x -2x+y=3y

，即x=-y，
令x=1，y=-1，得M屬于λ₁=3的特征向量為

a

=

1 -1

同理求得M屬于λ₂=-1的特征向量為

b

=

1 1

設(shè)α=

3 1

=λ

a

+μ

b

=

λ+μ -λ+μ

，解之得λ=1，μ=2
∴α=

1 -1

+2

1 1

，
所以M20α=320

1 -1

+2(-1)20

1 1

=

320+2 -320+2

點(diǎn)評：本題用矩陣的特征向量來計(jì)算矩陣的乘方運(yùn)算和矩陣與向量相乘的運(yùn)算，考查了的乘法運(yùn)算和特征值與特征向量的計(jì)算等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．