Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x²-2ax+a）．
（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求f（x）定義域．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域是使對(duì)數(shù)的真數(shù)有意義x的取值范圍，故函數(shù)定義域?yàn)镽等價(jià)于真數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)取值恒大于零，由此不難列出根的判別式小于0，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，說明對(duì)數(shù)的真數(shù)取到所有的正數(shù)，由此可得（0，+∞）包含于真數(shù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的值，由此可得根的判別大于或等于0，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）要使x²-2ax+a＞0恒成立，只要△=4a²-4a＜0，---------------（2分）
得0＜a＜1．------------------------------------------------------------（4分）
（2）要使函數(shù)的值域是R，只要△=4a²-4a≥0，得a≤0或a≥1．------（8分）
這時(shí)由x²-2ax+a＞0得　x＜a-

a2-a

或x＞a+

a2-a

，-------（10分）
所以這時(shí)f（x）定義域是(-∞， a-

a2-a

 )∪( a+

a2-a

， +∞)．-------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．